Fondamenti della meccanica atomica
abitualmente adottata (equazione di Schrödinger):
Pagina 165
Fondamenti della meccanica atomica
Con queste condizioni, il problema dell'integrazione dell'equazione di Schrödinger rientra nella categoria di quelli studiati nell'introduzione
Pagina 166
Fondamenti della meccanica atomica
autofunzioni dell'equazione di Schrödinger (131') (che formano come si sa, un sistema ortogonale completo): sarà cioè
Pagina 168
Fondamenti della meccanica atomica
e la soddisfa l'equazione di Schrödinger
Pagina 169
Fondamenti della meccanica atomica
Va tenuto presente che la nella forma generale (133) o (133') (cioè non «monocromatica») non soddisfa all'equazione di Schrödinger (131), perchè
Pagina 169
Fondamenti della meccanica atomica
Essa poi soddisfa l'equazione di Schrödinger
Pagina 170
Fondamenti della meccanica atomica
che chiameremo equazione temporale di Schrödinger.
Pagina 170
Fondamenti della meccanica atomica
Per cominciare a studiare l'equazione di Schrödinger dai casi più semplici, tratteremo in questo capitolo alcuni problemi «unidimensionali», con che
Pagina 175
Fondamenti della meccanica atomica
che chiameremo equazione unidimensionale di Schrödinger (per gli stati stazionari).
Pagina 176
Fondamenti della meccanica atomica
Applichiamo l'equazione unidimensionale di Schrödinger al caso di una particella non soggetta a forze, e libera di muoversi da a .
Pagina 178
Fondamenti della meccanica atomica
L'equazione di Schrödinger sarà, nella regione I, ancora la (148), mentre nella regione II avrà la stessa forma salvo che in luogo di k vi figurerà
Pagina 186
Fondamenti della meccanica atomica
Mostriamo ora un primo esempio di quantizzazione col metodo di Schrödinger, considerando una particella che possa scorrere (senza forze) su un tratto
Pagina 189
Fondamenti della meccanica atomica
L'equazione di Schrödinger sarà ancora la (148), ma con la condizione che fuori del segmento AB la si annulli (essendo per ipotesi nulla la
Pagina 190
Fondamenti della meccanica atomica
e quindi, trasportandola nell'equazione unidimensionale di Schrödinger (146), si ottiene
Pagina 192
Fondamenti della meccanica atomica
L'equazione di Schrodinger (127), esplicitando l'operatore in coordinate polari, si scrive
Pagina 217
Fondamenti della meccanica atomica
, mediante la separazione delle variabili. Scriviamo dunque l'equazione unidimensionale di Schrödinger per uno stato di energia E (146, § 34) nella forma
Pagina 239
Fondamenti della meccanica atomica
degli autovalori dell'equazione di Schrödinger. Da questo metodo trarremo una regola di quantizzazione che sostanzialmente coincide con quella postulata
Pagina 239
Fondamenti della meccanica atomica
(estendendo le considerazioni del § 51 mediante la separazione delle variabili) come conseguenze di prima approssimazione dell'equazione di Schrödinger e delle
Pagina 249
Fondamenti della meccanica atomica
Anche questo risultato coincide (casualmente) in modo perfetto con quello fornito dall'integrazione rigorosa dell'equazione di Schrödinger
Pagina 253
Fondamenti della meccanica atomica
Una correzione del tutto analoga si può fare nella teoria di Schrödinger e conduce allo stesso risultato (v. § 21, p. III),
Pagina 266
Fondamenti della meccanica atomica
di Schrödinger corrispondente agli elettroni del nocciolo è tale che , cioè la densità media di carica elettrica, è indipendente dal tempo ed a
Pagina 267
Fondamenti della meccanica atomica
Un altro esempio notevole è l'operatore che figura nel primo membro dell'equazione di Schrödinger (131 ) p. II, la quale si può scrivere
Pagina 300
Fondamenti della meccanica atomica
variano col tempo. P. es., sovrapponendo due stati stazionari col prendere come una combinazione lineare di due autofunzioni di Schrödinger, (v. § 29, p
Pagina 336
Fondamenti della meccanica atomica
Cominciamo con l'osservare una analogia formale tra l'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari, che scriveremo nella forma
Pagina 337
Fondamenti della meccanica atomica
Vogliamo ora ricapitolare brevemente il procedimento della meccanica ondulatoria di Schrödinger, enunciandolo col linguaggio geometrico dello spazio
Pagina 337
Fondamenti della meccanica atomica
chiamata hamiltoniana, diremo che l'equazione di Schrödinger si ottiene trasformando l'hamiltoniana in un operatore (che chiameremo bramiltoniano) mediante
Pagina 338
Fondamenti della meccanica atomica
Ammetteremo ora che la del sistema soddisfi l'equazione seguente, generalizzazione dell'equazione temporale di Schrödinger, (v. (136) P. II):
Pagina 342
Fondamenti della meccanica atomica
cioè l'ordinaria equazione di Schrödinger relativa alla particella k-esima. Si può dunque prendere come del sistema il prodotto delle delle singole
Pagina 343
Fondamenti della meccanica atomica
(1) Questo risultato autorizza ad applicare l'equazione di Schrödinger al moto d'insieme di un sistema complesso come un atomo o una molecola. Le
Pagina 347
Fondamenti della meccanica atomica
dall'equazione temporale di Schrödinger, fino a che non interviene una nuova osservazione a perturbare il sistema.
Pagina 355
Fondamenti della meccanica atomica
Sviluppando, e sostituendo per la derivata di il valore dato dall'equazione di Schrödinger (87), si ha
Pagina 366
Fondamenti della meccanica atomica
nostro punto di partenza per stabilire l'equazione di Schrödinger.
Pagina 366
Fondamenti della meccanica atomica
L'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari è dunque per una particella nel campo magnetico:
Pagina 373
Fondamenti della meccanica atomica
La si evolve poi col tempo obbedendo l'equazione differenziale di Schrödinger
Pagina 375
Fondamenti della meccanica atomica
questo schema evidentemente le direzioni degli assi di riferimento sano date dalle autofunzioni della equazione di SCHRÖDINGER.
Pagina 380
Fondamenti della meccanica atomica
svolti in questo paragrafo. Nel caso dell'oscillatore, dunque, il metodo delle matrici presenta alcuni vantaggi sul metodo di Schrödinger.
Pagina 388
Fondamenti della meccanica atomica
che si riferiscono al problema imperturbato): allora l'equazione di Schrödinger per lo stato stazionario i-esimo del sistema imperturbato sarà
Pagina 390
Fondamenti della meccanica atomica
L'equazione di Schrödinger relativa al sistema perturbato sarà, per lo stato stazionario n-esimo (chiamando (1) Si dovrebbe scrivere , e, più oltre
Pagina 391
Fondamenti della meccanica atomica
Ciò premesso, l'equazione di Schrödinger per gli stati imperturbati si scriverà (indicando come prima con l'operatore hamiltoniano imperturbato):
Pagina 396
Fondamenti della meccanica atomica
Scriviamo ora che la soddisfa l'equazione di Schrödinger (183), cioè che
Pagina 400
Fondamenti della meccanica atomica
Schrödinger nella stessa forma usata fin qui. L'autofunzione perturbata soddisferà dunque l'equazione
Pagina 405
Fondamenti della meccanica atomica
e analogamente per la (11'). Se il campo magnetico è nullo o trascurabile, ciascuna delle due soddisfa l'ordinaria equazione di Schrödinger: perciò
Pagina 419
Fondamenti della meccanica atomica
con . La prima è l' ordinaria equazione di Schrödinger: dunque rappresenta uno dei livelli energetici della meccanica ondulatoria ordinaria, e è una
Pagina 420
Fondamenti della meccanica atomica
altre velocità in giuoco, ci riconduce alla teoria di Schrödinger: troveremo però che la che figura nella (255) differisce dalla di Schrödinger (che
Pagina 422
Fondamenti della meccanica atomica
seguente equazione, che dovrebbe rappresentare l'estensione relativistica dell'equazione di Schrödinger
Pagina 422
Fondamenti della meccanica atomica
L'idea fondamentale che ha condotto alla teoria diDiracè la seguente: postuliamo, in analogia alla teoria di Schrödinger e a quella di Pauli, che la
Pagina 423
Fondamenti della meccanica atomica
Ricordiamo inoltre che la soddisfa l'ordinaria equazione di Schrödinger (v. pag. 395) e che questa, per uno stato stazionario di energia E, ammette
Pagina 434
Fondamenti della meccanica atomica
Poichè, come si è visto al § 46, p. II, l'equazione di Schrödinger corrispondente a questo problema ammette soluzioni del tipo , dove è una funzione
Pagina 450
Fondamenti della meccanica atomica
ora considerato a parte: similmente sta per le tre coordinate di posizione . Il fattore soddisfa l'equazione di Schrödinger
Pagina 485
Fondamenti della meccanica atomica
Su tali principi, SCHRÖDINGER potè calcolare lo spettro dell'idrogeno, gli effetti Zeeman e Stark, l'oscillatore, ecc., e ottenne sempre risultati
Pagina 73